Question

8．如图，AB是圆O切于点B，过A的直线交圆O于C、D两点，已知AB=6，CD=5
（1）求$\frac{BC}{BD}$的值；
（2）若∠BAC=60°，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）证明△ABC∽△ADB，得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{DB}$，利用AB=6，CD=5，求出AC即可，求$\frac{BC}{BD}$的值；
（2）若∠BAC=60°，求出BC，DB，再求圆O的半径．

解答 解：（1）∵AB是圆O切于点B，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{DB}$，
∵AB=6，CD=5，
∴36=AC（AC+5），
∴AC=4，
∴$\frac{BC}{DB}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∠BAC=60°，则BC=$\sqrt{16+36-2×4×6×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{7}$，
DB=$\sqrt{36+81-2×6×9×\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∴cos∠DCB=$\frac{25+28-63}{2×5×2\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
∴sin∠DCB=$\sqrt{\frac{27}{28}}$，
∴2R=$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{27}{28}}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查圆的半径，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．