题目内容
已知函数
，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．
，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．
（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=1时，
，
所以f′（x）=
．
∵函数f（x）在x=3取得极值，
∴f′（3）=0
∴1﹣a+3a=0
∴
∴
∴函数在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴
时，函数f（x）在x=3取得极值
（Ⅱ）证明：当a=1时，
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有
，
故只需证明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．
令h（x）=x﹣1﹣[1+ln（x﹣1）]=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），
则
，
当x≥2时，h'（x）≥0，
故h（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．
故当x≥2时， 有
．
即f（x）≤x﹣1．
当n=1时，
，所以f′（x）=
．∵函数f（x）在x=3取得极值，
∴f′（3）=0
∴1﹣a+3a=0
∴
∴
∴函数在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴
时，函数f（x）在x=3取得极值（Ⅱ）证明：当a=1时，
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有
，故只需证明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．
令h（x）=x﹣1﹣[1+ln（x﹣1）]=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），
则
，当x≥2时，h'（x）≥0，
故h（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．
故当x≥2时， 有
．即f（x）≤x﹣1．
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