Question

若钝角△ABC的三边a，b，c满足a＜b＜c，三内角的度数成等差数列，则

ac

b2

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先利用正弦定理把边转化成角的正弦，进而利用三内角成等差数列求得B，利用A表示出C，进而把

ac

b2

整理成关于C的表达式，利用C的范围和余弦函数的单调性求得其取值范围．

解答：解：由正弦定理可知

ac

b2

=

sinAsinC

sin 2B

∵三内角的度数成等差数列，
∴3B=π，B=

π

3

，C=

2π

3

-A
∴

sinAsinC

sin 2B

=

sin( 2π 3 -C)•sinC

3 4

=

4

3

•(-

1

2

)[cos

2π

3

-cos(2C-

2π

3

)=

4

3

•[

1

4

+

1

2

cos（2C-

2π

3

）]
∵C=

2π

3

-A＜

2π

3

∵C为钝角
∴

π

2

＜C＜

2π

3

∴

π

3

＜2C-

2π

3

＜

2π

3

∴-

1

2

＜cos（2C-

2π

3

）＜

1

2

∴

4

3

•[

1

4

+

1

2

cos（2C-

2π

3

）]∈(0，

2

3

)
故答案为：(0，

2

3

)

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，余弦函数的性质，两角和公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．