Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且其前n项和满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，求证：T_n≤1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．可得当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由数列{a_n}的各项均为正数，可得a_n-a_n-1=1．即可证明．
（2）由（1）可得a_n=n．b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 证明：（1）∵2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．∴当n≥2时，2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-(

a

2 n-1

+an-1)，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1=1．
当n=1时，2a₁=

a

2 1

+a1，a₁＞0，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
（2）由（1）可得a_n=1+（n-1）×1=n．
∴b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∴T_n≤1．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．