Question

8．已知奇函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+4x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x^2}+mx（x＜0）}\end{array}}\right.$

（1）求实数m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出函数y=f（x）的图象；
（2）若函数f（x）在区间[-2，a-2]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数，结合函数的解析式即可求出m的值，
（2）根据图象得到函数的单调递增区间，利用函数f（x）在区间[-2，a-2]上单调递增，建立不等式，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
设x＜0，则f（x）=x²+mx，
则-x＞0，则f（-x）=-x²-4x=-f（x），
∴f（x）=x²+4x，
∴m=4，
图象如图所示：
（2）由图象可得，函数f（x）在[-2，2]上单调递增，
∵函数f（x）在区间[-2，a-2]上单调递增，
∴-2＜a-2≤2，
解得0＜a≤4，
故a的取值范围为（0，4]

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题．