Question

9个正数排成3行3列如下：
a₁₁a₁₂a₁₃
a₂₁a₂₂a₂₃
a₃₁a₃₂a₃₃
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

（1）求a₁₁，第一行数列的公差d₁，及各列数列的公比q；
（2）若保持这9个正数的位置不动，按照（1）中所求的规律排布，补做成一个
n行n列的数表．
a₁₁ a₁₂ a₁₃…，a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃…，a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃…，a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3…，a_nn
试求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据条件把a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

用首项，公差、公比表示，列出方程组求出首项、公差、公比；
（2）求出a_kk，据a_kk的特点，利用错位相减法求出数列的和．

解答：解：（1）由条件得：

a12=a11+d1=1 a23=(a11+2d1)q= 3 4 a32=(a11+d1)q2= 1 4 aij＞0  (i，j=1，2，3)

⇒

a11= 1 2 q= 1 2 d1= 1 2

．
（2）∵a_kk=a1k•qk-1=[a₁₁+（k-1）d₁]•q^k-1=k(

1

2

)k．
∴S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n；
∴

1

2

S_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1．
∴

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1；
∴S_n=2-（n+2）(

1

2

)n．

点评：求数列的前n项和，先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法．解决第二问的关键在于求出a_kk，据a_kk的特点，利用错位相减法求出数列的和．