Question

已知y=f（x），f(

1

2

)=4，对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3．
（Ⅰ）当n∈N^*时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若b1=1，bn+1=

bn

1+bn•f(n-1)

(n∈N*)，求b_n；
（ III）记c n=

4	bn

(n∈N*)，试证c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=

1

2

，得f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=2f(

1

2

)-3=5，由此导出f（n+1）-f（n）=2，从而求出当n∈N^*时求f（n）的表达式．
（Ⅱ）由bn+1=

bn

1+bn•f(n-1)

(n∈N*)得

1

bn+1

=

1

bn

+f(n-1)=

1

bn

+2n+1，由此能够导出b_n．
（ III）由题设条件可推出cn=

4	bn

=

1

n

，再由放缩法可以证明c₁+c₂+…+c₂₀₁₀＜89．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=

1

2

，
得f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=2f(

1

2

)-3=5
故f（n+1）=f（n）+f（1）-3=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2
当n∈N^*时f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]++[f（n）-f（n-1）]
=5+2（n-1）=2n+3
（Ⅱ）由bn+1=

bn

1+bn•f(n-1)

(n∈N*)
得

1

bn+1

=

1

bn

+f(n-1)=

1

bn

+2n+1
∴

1

bn+1

-

1

bn

=2n+1
故

1

bn

=

1

b1

+(

1

b2

-

1

b1

)+(

1

b3

-

1

b2

)++(

1

bn

-

1

bn-1

)
=1+3+5++（2n-1）=n²
∴bn=

1

n2

，n∈N*
（ III）由（Ⅱ）知cn=

4	bn

=

1

n

，c₁=1
∵

1

n

=

2

n + n

＜

2

n + n-1

=2(

n

-

n-1

)，(n∈N*，n≥2)
∴c1+c2++c2010＜1+2(

2

-1)+2(

3

-

2

)++2(

2010

-

2009

)
=2

2010

-1＜2×45-1=89．

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．