Question

设x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，那么过两点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直线与圆（x-1）²+（y-1）²=1的位置关系是

相离

．（相交、相离、相切 ）

Answer 1

分析：根据方程x²+mx+m²-m=0根的判别式大于0，算出0＜m＜

4

3

，由根与系数的关系算出x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m．再利用直线的斜率公式算出AB的斜率k=-m，利用中点坐标公式算出AB的中点为M（-

1

2

m，-

1

2

m²+m），得出直线AB的方程为mx+y+m²-m=0．最后利用点到直线的距离公式，算出已知圆的圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径，可得直线AB与已知圆相离．

解答：解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，
∴△=m²-4（m²-m）＞0，即0＜m＜

4

3

，且x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，
可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-m²+2m，
因此，直线AB的斜率k=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=-m，
AB的中点为M（

1

2

（x₁+x₂），

1

2

（x₁²+x₂²）），即M（-

1

2

m，-

1

2

m²+m）
∴直线AB的方程为y-（-

1

2

m²+m）=-m（x+

1

2

m），化简得mx+y+m²-m=0
又∵圆（x-1）²+（y-1）²=1的圆心坐标为C（1，1），半径r=1，
∴圆心C到直线AB的距离为d=

|m2+1|

m2+1

=

m2+1

，
∵0＜m＜

4

3

，可得d=

m2+1

＞1，
∴圆心C到直线AB的距离大于圆C的半径，可得直线与圆的位置关系是相离．
故答案为：相离

点评：本题着重考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、点到直线的距离公式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．