Question

1．设对于任意实数x，不等式|x+6|+|x-1|≥m恒成立．
（I） 求m 的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-4|-3x≤2m-9．

Answer 1

分析 （1）由|x+6|+|x-1|≥|x+6-x+1|=7，能求出m 的取值范围．
（2）当m取最大值时，m=7，原不等式等价于：|x-4|-3x≤5，由此能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵|x+6|+|x-1|≥|x+6-x+1|=7，
又对于任意实数x，不等式|x+6|+|x-1|≥m恒成立，
∴m≤7，
∴m 的取值范围是（-∞，7]．
（2）当m取最大值时，m=7，
原不等式等价于：|x-4|-3x≤5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x-4-3x≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{4-x-3x≤5}\end{array}\right.$，
解得x≥4或-$\frac{1}{4}$≤x＜4，
∴原不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1}{4}$}．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查绝对值不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．