Question

18．已知函数g（x）=x+$\frac{2}{x}$-2．
（1）证明：函数g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函数；
（2）若不等式g（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）问题化为1+2•${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则k≤2t²-2t+1，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）设$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，
∵g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-2）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵$\sqrt{2}$≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，2＜x₁x₂，即x₁x₂-2＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
所以函数g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函数．
解：（2）g（2^x）-k•2^x≥0，可化为2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$-2≥k•2^x，
化为1+2•${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{2}$-2•$\frac{1}{{2}^{x}}$≥k，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则k≤2t²-2t+1，
因x∈[-1，1]，故t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
记h（t）=2t²-2t+1，因为t∈[$\frac{1}{2}$，2]，故h（t）_max=5，
所以k的取值范围是（-∞，5]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想以及二次函数的性质，是一道中档题．