题目内容

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量$\overrightarrow m=（{2cos\frac{A}{2}，sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{cos\frac{A}{2}，-2sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$．
（1）求cosA的值；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

分析 （1）利用向量的数量积以及二倍角公式化简求解即可．
（2）利用已知条件表示三角形的周长，通过两角和的三角函数化简求解即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（{2cos\frac{A}{2}，sin\frac{A}{2}}）$，$\overrightarrow n=（{cos\frac{A}{2}，-2sin\frac{A}{2}}）$，由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$，可得2cos2$\frac{A}{2}$-2sin2$\frac{A}{2}$，即$cosA=-\frac{1}{2}$------------（5分）
（2）因为$cosA=-\frac{1}{2}$且A∈（0，π），所以$A=\frac{2π}{3}$，所以$C=\frac{π}{3}-B$
△ABC周长$a+b+c=2\sqrt{3}+b+c=2\sqrt{3}+4sinB+4sinC=4sin（B+\frac{π}{3}）+2\sqrt{3}$
因为$B∈（0，\frac{π}{3}）$，所以$B=\frac{π}{6}$时，△ABC周长有最大值，最大值为$4+2\sqrt{3}$---------（12分）

点评 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的化简求值，考查计算能力．

练习册系列答案
相关题目
7．已知椭圆$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，如图所示点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）为椭圆上任意三点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow 0$，是否存在实数λ，使得代数式x1x2+λy1y2为定值．若存在，求出实数λ和x1x2+λy1y2的值；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）若$若\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求三角形OAB面积的最大值；
（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB面积取得最大值的前提下，若线段PA，PB与椭圆长轴和短轴交于点E，F（E，F不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．
8．16．如图所示，在正方形ABCD中，已知|$\overrightarrow{AB}$|=2，若N为正方形内（含边界）任意一点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值是4．
5．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以$y=±\frac{1}{2}x$为渐近线的双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{10}-\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{2}}=1$．
12．已知i为虚数单位，设z=1+i+i2+i3+…+i9，则|z|=$\sqrt{2}$．
2．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2≥0\\ x+y-3≤0\\ x，y∈{N^*}\end{array}\right.$，则y-2x的最大值为（　　）
A．3B．2C．0D．-2
9．已知函数f（x）=（x-k）ex+k，k∈Z，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+5＞0恒成立，求k的最大值．
6．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是0.398．
16．若函数h（x）=2x-$\frac{k}{x}$在[1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（　　）
A．[-2，+∞）B．[2，+∞）C．（-∞，-2]D．（-∞，2]

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网