Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），g（x）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$）．
（1）求函数h（x）=f（x）+2g（x）的零点；
（2）求函数F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ（n∈N^*）的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由h（x）=f（x）+2g（x）=0求解关于x的方程得答案；
（2）由F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ=$\frac{1}{{2}^{2n}}[（x+\frac{1}{x}）^{2n}-（x-\frac{1}{x}）^{2n}]$，展开二项式定理，重新组合后利用基本不等式转化，再由二项式系数的性质求得F（x）的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），g（x）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），
∴h（x）=f（x）+2g（x）=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+x-\frac{1}{x}=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，
由$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}=0$，得3x²=1，
∴x=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即函数h（x）=f（x）+2g（x）的零点为：$±\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ=$\frac{1}{{2}^{2n}}[（x+\frac{1}{x}）^{2n}-（x-\frac{1}{x}）^{2n}]$
=$\frac{1}{{2}^{2n}}（2{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-2}+2{C}_{2n}^{3}{x}^{2n-6}+…+2{C}_{2n}^{2n-3}{x}^{6-2n}+2{C}_{2n}^{2n-1}{x}^{2-2n}）$
=$\frac{1}{{2}^{2n}}[{C}_{2n}^{1}（{x}^{2n-2}+{x}^{2-2n}）+{C}_{2n}^{3}（{x}^{2n-6}+{x}^{6-2n}）+…+$${C}_{2n}^{2n-3}（{x}^{6-2n}+{x}^{2n-6}）+{C}_{2n}^{2n-1}（{x}^{2-2n}+{x}^{2n-2}）]$
≥$\frac{1}{{2}^{2n}}（2{C}_{2n}^{1}+2{C}_{2n}^{3}+…+2{C}_{2n}^{2n-3}+2{C}_{2n}^{2n-1}）$=$\frac{1}{{2}^{2n}}•2•{2}^{2n-1}=1$．
当且仅当x=±1时等号成立．
∴函数F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ（n∈N^*）的最小值为1．

点评 普通考查函数零点的判定定理，考查了二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．