Question

7．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在点（1，0）处的切线；
（2）若g（x）=-x²+ax-3，且不等式g（x）-2f（x）≤0对一切x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当x∈（0，+∞）时，求证：e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$＞1．

Answer 1

分析 （1）求导数，可得切线的斜率，即可求函数f（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）由g（x）-2f（x）≤0，有a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；
（3）问题等价于xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，由（1）知，f（x）的最小值是-$\frac{1}{e}$，右边取得最大值-$\frac{1}{e}$，即可证明结论．

解答 （1）解：∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，
∴函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x-1；
（2）解：由g（x）-2f（x）≤0，有a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
对一切x∈（0，+∞），g（x）-2f（x）≤0恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）证明：问题等价于xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
由（1）知，f（x）的最小值是-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=$\frac{1}{e}$时取等号，
设y=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，则y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴0＜x＜1，y′＞0，x＞1，y′＜0，
∴函数在（0，1]上为增函数，在[1，+∞）上为减函数，
∴x=1时y_max=-$\frac{1}{e}$，
∴e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$＞1．

点评 本题考查导数的几何运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数是关键．