Question

18．设f（x）=|x-m|+|x+m|，x∈R．记不等式f（2）＞5的解集为M．
（1）若m₀∈M，求m₀²+$\frac{64}{{{m}_{0}}^{2}+1}$的最小值；
（2）若a，b∈M，证明：16a²b²+625＞100a²+100b²．

Answer 1

分析 （1）由f（2）＞5解得m的范围，再由均值不等式即可得到所求最小值；
（2）a，b∈M，可得a²，b²∈（$\frac{25}{4}$，+∞），将原不等式作差，因式分解，即可得到证明．

解答 解：（1）不等式f（2）＞5即为|2-m|+|2+m|＞5，
由|2-m|+|2+m|=$\left\{\begin{array}{l}{2m，m≥2}\\{4，-2＜m＜2}\\{-2m，m≤-2}\end{array}\right.$，
可得m＞$\frac{5}{2}$，或m＜-$\frac{5}{2}$，
m₀²∈（$\frac{25}{4}$，+∞），
m₀²+$\frac{64}{{{m}_{0}}^{2}+1}$=（m₀²+1）+$\frac{64}{{{m}_{0}}^{2}+1}$-1≥2$\sqrt{（{{m}_{0}}^{2}+1）•\frac{64}{{{m}_{0}}^{2}+1}}$-1=15，
当且仅当m₀²+1=$\frac{64}{{{m}_{0}}^{2}+1}$，即m₀²=7时，取得最小值15；
（2）证明：a，b∈M，可得a²，b²∈（$\frac{25}{4}$，+∞），
则00a²+100b²-16a²b²-625=16（$\frac{25}{4}$a²+$\frac{25}{4}$b²-a²b²-$\frac{625}{16}$）
=16（$\frac{25}{4}$-a²）（b²-$\frac{25}{4}$）＜0，
可得16a²b²+625＞100a²+100b²．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查均值不等式的运用：求最值，考查不等式的证明，注意运用作差法，属于中档题．