Question

9．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了 一条索道AC，李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC=120°；从B处攀登4千米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC=150°；从D处再攀登8千米方到达C处，索道AC的长为$4\sqrt{13}$千米．

Answer 1

分析 在△ABC中根据∠ABD=120°，∠ADB=180°-∠ADC=30°，利用内角和定理算出∠DAB=30°，从而AB=BD=4千米，利用余弦定理算出AD=4$\sqrt{3}$．然后在△ADC中，根据两边AD、DC长和夹角∠ADC=150°，利用余弦定理解出AC²值，从而得出AC．

解答 解：在△ABD中，BD=4千米，∠ABD=120°，
∵∠ADB=180°-∠ADC=30°
∴∠DAB=180°-120°-30°=30°
得△ABD中，AB=BD=4千米，AD=4$\sqrt{3}$（千米）
在△ADC中，DC=8千米，∠ADC=150°
∴AC²=AD²+DC²-2 AD•DC•cos∠ADC      
=4²×3+8²-2×4$\sqrt{3}$×8×cos150°=208（千米）
∴AC=$4\sqrt{13}$千米．
故答案为$4\sqrt{13}$．

点评 本题以山上的索道为例，求嵩山的一条索道AC之长．着重考查了三角形内角和定理、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．