题目内容
函数y=
的图象上至少存在不同的三点到（1，0）的距离构成等比数列，则公比的取值范围
3-
|
[
，1）∪（1，
]
| ||
| 3 |
| 3 |
[
，1）∪（1，
]
．
| ||
| 3 |
| 3 |
分析：将函数化简整理，可得函数图象是椭圆
+
=1的上半部分，而点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点．设图象上有三个点P1、P2、P3满足P1F、P2F、P3F构成等比数列，且公比为q，可得
=q2．最后根据椭圆上一点到焦点距离的最大、最小值，讨论得到公比q的取值范围．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| |PF3| |
| |PF1| |
解答：
解：将函数函数y=
化简，整理得
+
=1，其中y≥0
所以函数图象是椭圆的上半部分，如右图
可得a2=4，b2=3，所以c2=a2-b2=1，
所以点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点
设图象上有三个点P1、P2、P3满足P1F、P2F、P3F构成等比数列，
且公比为q
即
=
=q，所以
=q2
①当q＞1时，|P3F|≤a+c=3，|P1F|≥a-c=1
∴q2≤3，解之得1＜q≤
②当0＜q＜1时，类似①的方法可得
≤q＜1
综上所述，可得q的取值范围是
≤q＜1或＜q≤
故答案为：[
，1）∪（1，
]
解：将函数函数y=3-
|
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
所以函数图象是椭圆的上半部分，如右图
可得a2=4，b2=3，所以c2=a2-b2=1，
所以点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点
设图象上有三个点P1、P2、P3满足P1F、P2F、P3F构成等比数列，
且公比为q
即
| |P2F| |
| |P1F| |
| |P3F| |
| |P2F| |
| |P3F| |
| |P1F| |
①当q＞1时，|P3F|≤a+c=3，|P1F|≥a-c=1
∴q2≤3，解之得1＜q≤
| 3 |
②当0＜q＜1时，类似①的方法可得
| ||
| 3 |
综上所述，可得q的取值范围是
| ||
| 3 |
| 3 |
故答案为：[
| ||
| 3 |
| 3 |
点评：本题给出椭圆上有三点到焦点的距离构成等比数列，求公比的取值范围，着重考查了椭圆的简单几何性质，属于中档题．
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