题目内容

设直线l：y=kx+m （k、m∈Z）与椭圆 $数学公式$ 交于不同两点B、D，与双曲线 $数学公式$ 交于不同两点E、F．满足
|DF|=|BE|的直线l有________ 条．

5
分析：根据椭圆、双曲线具有公共的顶点，同时是中心对称图形，由于直线l：y=kx+m （k、m∈Z），结合图形可解
解答：由于椭圆、双曲线具有公共的顶点，同时是中心对称图形，双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，利用图形可知，使得DF|=|BE|的直线l为：y=±1，y=±x，y=0，
故答案为5
点评：本题主要考查图形的对称性，考查数形结合得数学思想，属于简单题

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已知定点A(-

，0)，B是圆C：(x-

)2+y2=16（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为

，且椭圆经过圆C：x²+y²-3x+4y=0的圆心C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆交于A，B两点，点P（0，

）且|PA|=|PB|，求直线的方程．

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=

，且与椭圆

=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L₁：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k₁，k₂且k1•k2=-

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM•kBN=-

，证明直线l过定点，并求出这个定点．

（2011•丰台区二模）已知椭圆C的长轴长为2

，一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
②若直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．