Question

已知函数．

(1)若直线与的反函数的图象相切，求实数k的值;

(2)设，讨论曲线与曲线公共点的个数;

(3)设，比较与的大小，并说明理由．

 

Answer 1

(1)

(2)见解析；

(3)

【解析】(1)的反函数为．

设直线与的图象在处相切，则

，解得．

(2)曲线与的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数．

令，则，∴．

当时，，在(0，2)上单调递减;

当时，，在(2，+∞)上单调递增，

∴在(0，+∞)上的最小值为．

当时，曲线与y=m无公共点;

当，曲线与y=m恰有一个公共点;

当时，在区间(0，2)内存在，使得，在(2，+∞)内存在，使得．

由的单调性知，曲线与y=m在(0，+∞)上恰有两个公共点．

综上所述，当x>0时，

若，曲线与没有公共点;

若，曲线与有一个公共点;

若，曲线与有两个公共点．

(3)解法一:可以证明．事实上，

．(*)

令，

则，

(当且仅当x=0时等号成立)，

∴在[0，+∞)上单调递增，

∴时，．

令，即得(*)式，结论得证．

解法二:

，

设函数，

则，

令，则(当且仅当x=0时等号成立)，

∴单调递增，

∴当x>0时，，∴单调递增．

当x>0时，u(x)>u(0)=0．

令，得，

∴，

因此，．