Question

11．已知f（x）=x³-3x+m，若在区间[0，2]上任取三个数a、b、c，均存在以f（a）、f（b）、f（c）为边长的三角形，则实数m的取值范围为（6，+∞）．

Answer 1

分析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等关系，即可求解．

解答 解：f（x）=x³-3x+m，求导f'（x）=3x²-3，由f'（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）_min=f（1）=m-2，f（x）_max=f（2）=m+2，f（0）=m．
在[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，
三个不同的数a，b，c对应的f（a），f（b），f（c）可以有两个相同．
由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长．
由题意知，f（1）=-2+m＞0…（1），
f（1）+f（1）＞f（0），得到-4+2m＞m…（2），
f（1）+f（1）＞f（2），得到-4+2m＞2+m…（3），
由（1）（2）（3）得到m＞6为所求．
故答案为：（6，+∞）．

点评 本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值．