Question

已知圆，动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切．
（I）求圆心轨迹M的曲线方程；
（II）若A（0，-2）为y轴上一定点，Q（t，0）为x轴上一动点，过点Q且与AQ垂直的直线与轨迹M交于D，B两点（D在线段BQ上），直线AB与轨迹M交于E点，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切，可知M到C的距离等于M到直线的距离，从而圆心轨迹为抛物线；
（II）由题意，先求得，从而AB方程为，再求得，进而可表示，利用基本不等式求最小值．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则MC=，即M到C的距离等于M到直线的距离，从而圆心轨迹M的曲线方程为x²=y；
（II）由题意，不妨设t＞0．设QB方程为：与x²=y联立，求得，从而AB方程为，与x²=y联立，求得，∴，即的最小值为8．
点评：本题考查轨迹方程的求法，以及抛物线定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，有一定难度．