Question

18．已知p：?x∈R，2x＞m（x²+1），q：?x₀∈R，x₀²+2x₀-m-1=0，
（1）若q是真命题，求m的范围；
（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式求出m的范围即可；
（2）分别求出p为真，￢q为真时的m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若q：?x₀∈R，x₀²+2x₀-m-1=0为真，则方程x²+2x-m-1=0有实根，
∴4+4（m+1）≥0，
∴m≥-2．-----------------------------------------------------------------------（4分）
（2）2x＞m（x²+1）可化为mx²-2x+m＜0．
若p：?x∈R，2x＞m（x²+1）为真．
则mx²-2x+m＜0对任意的x∈R恒成立．
当m=0时，不等式可化为-2x＜0，显然不恒成立；
当m≠0时，有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{4-{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$
∴m＜-1．-------------------------------------------------------（12分）
?q：m＜-2
又p∧?q为真，故p、?q均为真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}m＜-1\\ m＜-2\end{array}\right.$
∴m＜-2．---------------------（15分）

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．