Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给以证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义求解即可：即f（-x）+f（x）=0．
（2）求函数的定义域，利用定法证明其单调性．
（3）对函数进行化简，分离常数法，即可得到值域．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0．
即：$\frac{1-{2}^{-x}}{a+{2}^{1-x}}+$$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$=0
化简整理得：$\frac{{2}^{x}-1}{a•{2}^{x}+2}+\frac{1-{2}^{x}}{a+2•{2}^{x}}$=0
可得：a•2^x+2=a+2•2^x
解得：a=2．
所以实数a的值为2．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$，其定义域为R．
函数f（x）在定义域R上单调减函数．证明如下：
设x₁＜x₂，那么：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{2（1+{2}^{{x}_{1}}）}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{2（1+{2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
故得f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以函数f（x）在定义域R上单调减函数．
（3）由（1）可得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{2（1+{2}^{x}）}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$．
∵$\frac{1}{1+{2}^{x}}≠0$
∴f（x）$≠-\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的值域为（-∞，$-\frac{1}{2}$）∪（$-\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了奇函数的运用能力和单调性的定义的运用，分离常数法求解值域．属于基础题．