Question

20．设函数f（x）=e^x（3x-1）-ax+a，其中a＜1，若仅有一个整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{2}{e}$，1）
• B． [-$\frac{2}{e}$，$\frac{3}{4}$）
• C． [$\frac{2}{e}$，$\frac{3}{4}$）
• D． [$\frac{2}{e}$，1）

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，对g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线h（x）=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，解g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a≥0，求得a的取值范围．

解答 解：设g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，
则g′（x）=e^x（3x+2），
∴x∈（-∞，$-\frac{2}{3}$），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（$-\frac{2}{3}$，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴x=$-\frac{2}{3}$，取最小值-3${e-}^{\frac{2}{3}}$，
∴g（0）=-1＜-a=h（0），
g（1）-h（1）=2e＞0，
直线h（x）=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a≥0，
∴a≥$\frac{2}{e}$，
a＜1，
∴a的取值范围[$\frac{2}{e}$，1）．
故答案选：D．

点评 本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．