Question

8．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）求动点f（x）的解析式；
（2）当a=1，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数y=f（x）在R上恰好有5个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质可求f（0）=0，然后设设x＜0，则-x＞0，代入已知可求f（-x0，结合奇函数f（x）=-f（-x），可求；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，结合函数的奇偶性求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的奇偶性，只需f（x）=0在（0，+∞）有2个不同的实根即可，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极大值为正，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，且定义域为R
则f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-ln（-x）-ax-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）a=1时，x＞0，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
又f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递减，
在（-1，0），（0，1）递增；
（3）∴f（x）是奇函数，则f（x）的图象关于（0，0）对称，
由f（x）在R上恰好有5个零点，得有2个正根，2个负根，1个零根，
∴只需f（x）=0在（0，+∞）有2个不同的实根即可，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a＞0时，f′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
∴f（x）在x=$\frac{1}{a}$处取得极大值-lna，
∴-lna＞0，0＜a＜1，
故a∈（0，1）．

点评 本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的解析式，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的极值，求解参数的范围，本题有一定的难度．