Question

在区间[0，1]上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2-

n

x+m=0有实根的概率．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x²-

n

•x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．

解答：解：在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n是（0，1）中任意取的两个数，所以点（m，n）与右图中正方形内的点一一对应，
即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．
设事件A表示方程x2-

n

x+m=0有实根，
则事件A={(m，n)|

n-4m≥0 0≤m≤1 0≤n≤1

}，
所对应的区域为右图中的阴影部分，且阴影部分的面积为

1

8

．
故由几何概型公式得P（A）=

S三角形

S四边形

=

1

8

，即关于x的一元二次方程x2-

n

x+m=0有实根的概率为

1

8

．

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．