Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，设，是函数图像上的任意两点（），记直线AB的斜率为，求证：.

 

Answer 1

（1）（i）当时，的单增区间为，无单减区间.

（ii）当时，的单增区间为，，

单减区间为.

（iii）当时，的单增区间为，单减区间为.

（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的导数，注意到函数的定义域是；不等式，故只需按的正，负和零分别讨论，在讨论的过程中当的情形注意再按两根的大小讨论即可求得函数的单调区间．

（2）先求得，再将直线AB的斜率为用表示出来得到，然后用比差法求得注意到，故欲证，只须证明：因为，故即证：，

令，构造函数，再利用导数证明在上是增函数，从而可得，进而得所证不等式成立．

试题解析：（1）【解析】
1分

（i）当时， 恒成立，即恒成立，

故函数的单增区间为，无单减区间. 2分

（ii）当时，，

解得：

∵，∴函数的单增区间为，，

单减区间为. 4分

（iii）当时，由解得：.

∵，而此时，∴函数的单增区间为，

单减区间为. 6分

综上所述：

（i）当时，的单增区间为，无单减区间.

（ii）当时，的单增区间为，，

单减区间为.

（iii）当时，的单增区间为，单减区间为. 7分

（2）证明：

由题，

则：

9分

注意到，故欲证，只须证明：. 10分

因为，故即证：

11分

令， 12分

则： 故在上单调递增.

所以： 13分

即：，即：所以：. 14分

考点：1．利用函数的导数研究函数的单调性；2．利用导数证明不等式．