Question

14．函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，求$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

解答 解：∵x=-2时，y=log_a1-1=-1，
∴函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$+2≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
当且仅当m=$\frac{1}{4}$，n=$\frac{1}{2}$时取等号，即$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为8．

点评 本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．