Question

15．数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*），则a_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由已知利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$
=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
故答案为：2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．