题目内容
12．已知若z1、z2是非零复数，且|z1+z2|=|z1-z2|．求证：$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是纯虚数．分析 设$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=a+bi，其中a，b∈R，可得z1=z2（a+bi），代入已知式子变形可得a=0，可得纯虚数．
解答 证明：设$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=a+bi，其中a，b∈R，
∴变形可得z1=z2（a+bi），
∴|z1+z2|=|z2||（1+a）+bi|
∴|z1-z2|=|z2||（1-a）+bi|
∵|z1+z2|=|z1-z2|，
∴|z2||（1+a）+bi|=|z2||（1-a）+bi|，
∴|（1+a）+bi|=|（1-a）+bi|，
∴（1+a）2+b2=（1-a）2+b2，
解得a=0，故$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是纯虚数
点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
3．不等式|3x-2|＞1的解集为（ ）
| A． | （-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞） | B． | （-$\frac{1}{3}$，1） | C． | （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞） | D． | （$\frac{1}{3}$，1） |
8．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m5，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$、2 | B． | $\frac{1}{4}$、4 | C． | $\frac{1}{4}$、2 | D． | $\frac{1}{2}$、4 |
9．函数y=$\sqrt{sin（\frac{π}{3}-2x）}$的单调增区间是（ ）
| A． | [k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z | B． | [k$π-\frac{π}{3}$，k$π-\frac{π}{12}$]，k∈Z | ||
| C． | [k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z | D． | [k$π+\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{11π}{12}$]，k∈Z |