Question

7．已知抛物线C：y²=8x，点P（0，4），点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|AF|+|AP|≥|PF|=2$\sqrt{5}$，得出直线AB的方程，即可得出结论．

解答 解：设A在抛物线准线的投影为A'，抛物线的焦点为F，则 F（-2，0），
由抛物线的定义知：A到该抛物线准线的距离为|AA'|=|AF|，
则点A到点P（0，4）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|AF|+|AP|≥|PF|=2$\sqrt{5}$
AB的斜率为-2，直线方程为y=-2（x-2），即x=-$\frac{y}{2}$+2
代入抛物线C：y²=8x，可得y²+4y-16=0，∴y=-2±2$\sqrt{5}$，
∴△AOB的面积为$\frac{1}{2}×2×4\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为$4\sqrt{5}$．

点评 本小题主要考查抛物线的定义解题，考查三角形面积的计算，属于中档题．