题目内容
7．
如图，在矩形ABCD中，$AB=\sqrt{3}，BC=1$，将△ACD沿折起，使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，则直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ |
分析 设D1在平面ABC的射影为O，求出D1O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，即可求出直线D1C与平面ABC所成角的正弦值．
解答 解：设D1在平面ABC的射影为O，
由题意，CB⊥平面D1CB，∴CD⊥D1B，
∵D1C=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴D1B=$\sqrt{2}$，
∴$A{{D}_{1}}^{2}+B{{D}_{1}}^{2}$=AB2，
∴D1B⊥D1A，
由等面积可得D1O•$\sqrt{3}$=1$•\sqrt{2}$，∴D1O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴直线D1C与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{{D}_{1}O}{{D}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故选：B．
点评 本题考查直线D1C与平面ABC所成角的正弦值，考查学生的计算能力，正确求出D1O=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$是关键．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |