Question

18．某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：

资源 产品	资金（万元）	场地（平方米）
A	2	100
B	35	50

现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）写出目标函数，利用线性规划的知识，求解目标函数的最值即可．

解答 解：（1）由已知，x，y满足的数学关系式为：$\left\{\begin{array}{l}2x+3y≤12\\ 100x+50y≤400\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x+3y≤12\\ 2x+y≤8\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$
该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：


（2）设利润为z万元，则目标函数为z=3x+2y．
将其变形为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$，这是斜率为$-\frac{3}{2}$，随z变化的一族平行直线，$\frac{z}{2}$为直线在y轴上的截距，当$\frac{z}{2}$取最大值时，z的值最大．
因为x，y满足约束条件，
所以当直线z=3x+2y经过可行域上的点M时，截距$\frac{z}{2}$最大，即z最大，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 2x+y=8\end{array}\right.$得点M的坐标（3，2），
∴z_max=3×3+2×2=13．
答：生产A种产品3吨、B种产品2吨时，利润最大为13万元．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．