Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B-5cos（A+C）=2．
（1）求角B的值；
（2）若cosA=$\frac{1}{7}$，△ABC的面积为10$\sqrt{3}$，求BC边上的中线长．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos²B+5cosB-3=0，进而解得cosB，结合B的范围即可得解B的值；
（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求BC的值，再由三角形面积公式可求AB，BD的值，利用余弦定理即可得解AD的值．

解答 解：（1）∵cos2B-5cos（A+C）=2．
∴2cos²B+5cosB-3=0，解得：cosB=$\frac{1}{2}$或-3（舍去），又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosA=$\frac{1}{7}$，∴可得：sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{7}{5}$，
设b=7x，c=5x，则在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
∴BC=$\sqrt{（5x）^{2}+（7x）^{2}-2×5x×7x×\frac{1}{7}}$=8x，
∵△ABC的面积为10$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}$×5x×8x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：x=1，
∴AB=5，BC=8，AC=7，BD=4，
∴在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=25+16-2×5×4×$\frac{1}{2}$=21，
∴解得：AD=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题．