Question

求函数y=3-2log_ax-log_a²x的单调递增区间和该函数的值域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，结合一元二次函数的性质进行判断即可．

解答： 解：设t=log_ax，
则函数等价为y=3-2t-t²=-（t+1）²+4≤4，
即函数的值域为（-∞，4]．
函数的y=-（t+1）²+4的对称轴为t=-1，
则（-∞，-1]上函数递增，则[-1，+∞）上函数递减，
若a＞1，则t=log_ax为增函数，则由log_ax≤-1，得0＜x≤

1

a

，此时函数y=3-2log_ax-log_a²x单调递增，增区间为（0，

1

a

]，
由log_ax≥-1，得x≥

1

a

，此时函数y=3-2log_ax-log_a²x单调递减，减区间为[

1

a

，+∞），
若0＜a＜1，t=log_ax为减函数，则由log_ax≤-1，得x≥

1

a

，此时函数y=3-2log_ax-log_a²x单调递减，减区间为[

1

a

，+∞），
由log_ax≥-1，得0＜x≤

1

a

，此时函数y=3-2log_ax-log_a²x单调递增，增区间为（0，

1

a

]，
故a＞1时，增区间为（0，

1

a

]，减区间为[

1

a

，+∞），
0＜a＜1时，增区间为（0，

1

a

]，减区间为[

1

a

，+∞）．

点评：本题主要考查函数单调性和值域的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．