Question

设f（x）为R上的奇函数，且f（-x）+f（x+3）=0，若f（-1）=-1，f（2）＜log_a2，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据f（-x）+f（x+3）=0得到f（2）=-f（1）；再借助于f（x）为R上的奇函数求出f（2）的值，最后通过对对数函数底数的讨论分情况求出a的取值范围．

解答：解：∵f（-x）+f（x+3）=0
∴f（2）+f（1）=0⇒f（2）=-f（1）
∵f（x）为R上的奇函数
∴f（1）=-f（-1）=1．
∴f（2）=-1．
∴f（2）＜log_a2?-1＜log_a2?log_a2＞loga

1

a

．
所以有

a＞1 2＞ 1 a

或

0＜a＜1 2＜ 1 a

⇒a＞1或0＜a＜

1

2

．
故答案为：a＞1或0＜a＜

1

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及对数不等式的解法．在解对数不等式时，一定要分底数大于1和底数大于0小于1两种情况来解．