Question

18．设函数f（x）=|x+1|-|2x-4|；
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x-2|＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）+3|x-2|的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|-|2x-4|=|x+1|-2|x-2|≥1，
x≥2时，x+1-2x+4≥1，解得：x≤4，
-1＜x＜2时，x+1+2x-4≥1，解得：x≥$\frac{4}{3}$，
x≤-1时，-x-1+2x-4≥1，无解，
故不等式的解集是[$\frac{4}{3}$，4]；
（Ⅱ）若对?x∈R，都有f（x）+3|x-2|＞m，
即若对?x∈R，都有|x+1|+|x-2|＞m，
而|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3，
故m＜3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．