Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，已知cosC+$\frac{c}{b}$cosB=2，
（1）求$\frac{sinA}{sinB}$；
（2）若C=$\frac{π}{3}$，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）由（1）可得$\frac{a}{b}$=2，即a=2b．再利用余弦定理可得b，a，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵cosC+$\frac{c}{b}$cosB=2，由正弦定理可得：cosC+$\frac{sinC}{sinB}$cosB=2，∴$\frac{sin（B+C）}{sinB}$=$\frac{sinA}{sinB}$=2．
（2）由（1）可得$\frac{a}{b}$=2，即a=2b．
由余弦定理可得：c²=12=a²+b²-2abcosC=4b²+b²-$4{b}^{2}×cos\frac{π}{3}$，解得b=2，
∴a=4．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×4×2×sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．