Question

12．已知f（x）=（x²+ax+a）e^-x（a＜2，a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性，并求出极值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）对函数求导，求得函数的单调区间，从而可讨论f（x）的单调性，并求出极值；
（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．

解答 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a＞0
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2-a）	2-a	（2-a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		极小		极大

由表可知f（x）_极小=f（0）=a，$f{（x）_{极大}}=f（2-a）=（4-a）{e^{a-2}}$
（2）设g（a）=（4-a）e^a-2，g′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴g（a）在（-∞，2）上是增函数，
∴g（a）≤g（2）=2＜3∴（4-a）e^a-2≠3
∴不存在实数a使f（x）最大值为3．

点评 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与极值，属于中档题．