Question

圆台的侧面面积是它内切球表面积的

4

3

倍，则圆台母线和底面所成的角的大小是（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、75°

Answer 1

分析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，由线切长定理可得母线长为R+r，由已知中圆台的侧面面积是它内切球表面积的

4

3

倍，我们化简后，易得圆台的高（内切球的直径）与圆台的母线之间的关系，进而求出圆台母线和底面所成的角的大小．

解答：解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则母线长为R+r
圆台内切球的半径为a
则∵圆台的侧面面积是它内切球表面积的

4

3

倍，
∴

4

3

•4πa²=π•（r+R）²
即

16

3

a2=(r+R)2
即a=

3

4

（r+R）
设圆台母线和底面所成的角的大小为θ
则sinθ=

2a

r+R

=

3

2

则θ=60°
故选C

点评：本题考查的知识点是圆台的结构特征，直线与平面所成的角，其中根据线切长定理可得母线长为R+r，是简化过程的关键．