Question

12．如图：在空间四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB=BC=6，BD=8，E为AD中点，求异面直线BE与CD所成角．

Answer 1

分析 由题意可知：AB⊥平面BCD，建立空间直角坐标系，则$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{7}$，3，3），$\overrightarrow{CD}$=（-2$\sqrt{7}$，6，0），则cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}}{丨\overrightarrow{BE}丨•丨\overrightarrow{CD}丨}$，即可求得异面直线BE与CD所成角．

解答 解：AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，则AB⊥平面BCD，
∴分别以BC的垂线，BC，BA三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则可确定以下几点坐标：
B（0，0，0），C（0，6，0），A（0，0，6），D（-2$\sqrt{7}$，6，0），E（-$\sqrt{7}$，3，3），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{7}$，3，3），$\overrightarrow{CD}$=（-2$\sqrt{7}$，6，0），
∴cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}}{丨\overrightarrow{BE}丨•丨\overrightarrow{CD}丨}$=$\frac{14}{5×2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{5}$；
异面直线BE与CD所成角arccos$\frac{\sqrt{7}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查空间向量的应用，考查数形结合思想，属于中档题．