Question

4．已知函数f（x）=xcosx-sinx（x＞0）．
（1）求函数f（x）在点（${\frac{π}{2}$，f（${\frac{π}{2}}$））处的切线方程；
（2）记x_n为f（x）的从小到大的第n（n∈N^*）个极值点，证明：不等式$\frac{1}{x_1^2}$+$\frac{1}{x_2^2}$+$\frac{1}{x_3^2}$+…+$\frac{1}{x_n^2}$＜$\frac{7}{{4{π^2}}}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）在点（${\frac{π}{2}$，f（${\frac{π}{2}}$））处的切线方程；
（2）由f'（x）=-xsinx=0，x＞0，得${x_n}=nπ（{n∈{N^*}}）$，所以当n≥2且n∈N^*时，$\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{{{n^2}{π^2}}}＜\frac{1}{{（{n-1}）（{n+1}）{π^2}}}=\frac{1}{{2{π^2}}}（{\frac{1}{{（{n-1}）}}-\frac{1}{{（{n+1}）}}}）$．利用放缩法，即可证明结论．

解答 （1）解：f'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，则切线的斜率为$f'（{\frac{π}{2}}）=-\frac{π}{2}sin\frac{π}{2}=-\frac{π}{2}$，
又$f（{\frac{π}{2}}）=-1$，故函数f（x）在点$（{\frac{π}{2}，f（{\frac{π}{2}}）}）$处的切线方程为$y-（{-1}）=-\frac{π}{2}（{x-\frac{π}{2}}）$，即$\frac{π}{2}x+y+1-\frac{π^2}{4}=0$．
（2）证明：由f'（x）=-xsinx=0，x＞0，得${x_n}=nπ（{n∈{N^*}}）$，
所以当n≥2且n∈N^*时，$\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{{{n^2}{π^2}}}＜\frac{1}{{（{n-1}）（{n+1}）{π^2}}}=\frac{1}{{2{π^2}}}（{\frac{1}{{（{n-1}）}}-\frac{1}{{（{n+1}）}}}）$．
所以当n≥2时，n∈N^*时，$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}+…+\frac{1}{x_n^2}＜\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{2{π^2}}}$$（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）$=$\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{2{π^2}}}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）＜\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{2{π^2}}}（{1+\frac{1}{2}}）=\frac{7}{{4{π^2}}}$．
又当n=1时，$\frac{1}{x_1^2}=\frac{1}{π^2}＜\frac{7}{{4{π^2}}}$．
综上，$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}+…+\frac{1}{x_n^2}＜\frac{7}{{4{π^2}}}（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．