Question

10．在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a_n²=a_n-1a_a+1，n∈N^•；
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过题意可知数列{a_n}是等比数列，进而可求出公比，代入公式即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=（2n-1）2ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵当n≥2时，a_n²=a_n-1a_a+1，
∴数列{a_n}是等比数列，
又∵a₁=2，a₂=4，
∴公比a=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴其通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）2ⁿ，
则S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
两式相减，得：-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．