Question

13．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面B₁BCC₁与底面ABC垂直，且侧面B₁BCC₁为矩形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=$\sqrt{6}$，点M、N分别为棱CC₁、AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面B₁CN
（2）求证：A₁M⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，设BC₁∩B₁C=O，连接ON，证明ON∥AC₁，即可证明AC₁∥平面B₁CN；
（2）建立空间直角坐标系，证明：$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，可得A₁M⊥AC₁，A₁M⊥B₁C₁，即可证明A₁M⊥平面AB₁C₁．

解答 证明：（1）连接BC₁，设BC₁∩B₁C=O，连接ON，
∵点O、N分别为BC₁，BA的中点，
∴ON∥AC₁，
又∵ON?平面BC₁N，AC₁?平面BC₁N，
∴AC₁∥平面B₁CN…（4分）
（2）证明：∵侧面B₁BCC₁为矩形，
∴CC₁⊥BC．
∵侧面B₁BCC₁与底面ABC垂直，且交于BC
∴CC₁⊥平面ABC．
如图所示，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C₁（0，0，$\sqrt{6}$），A₁（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{6}$），B₁（0，1，$\sqrt{6}$），M（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-$\sqrt{3}$，0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，-1，0）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}M}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，
∴A₁M⊥AC₁，A₁M⊥B₁C₁，
∵AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁M⊥平面AB₁C₁．

点评 本题考查直线与平面平行、垂直的证明，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．