Question

12．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄，满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则$\frac{{{x_3}•{x_4}}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范围是（20，32）．

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，确定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：当2≤x≤10，时，f（x）=sin$\frac{π}{4}$x，
则函数的图象如图，
则0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜x₄，且x₃，x₄，关于x=6对称，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴log₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10
∴x₁x₂（x₃-2）（x₄-2）=（x₃-2）（x₄-2）=x₃x₄-2（x₃+x₄）+4=x₃x₄-20，
∵2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，x₃+x₄=12，
∴x₃=-x₄+12，
则x₃x₄=（12-x₄）x₄=-（x₄）²+12x₄=-（x₄-6）²+36，
∵8＜x₄＜10，
∴20＜x₃x₄＜32，
则$\frac{{{x_3}•{x_4}}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范围是（20，32），
故答案为：（20，32）．

点评 本题考查分段函数的图象画法、函数的值域的应用、函数与方程的综合应用等基础知识，考查运算求解能力，数形结合能力、化归与转化思想，难度较大．