Question

17．若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x-3）为奇函数，f（-6）=-3，则不等式f（x）＜3e^x的解集为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-3，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，6）

Answer 1

分析 首先构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求得不等式f（x）＜3e^x的解集．

解答 解：∵y=f（x-3）为奇函数，
∴f（0）=f（3-3）=-f（-3-3）=-f（-6）=3
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）＞f（x），
∴f′（x）-f（x）＞0，
∴g′（x）＞0．
∴y=g（x）单调递增．
由f（x）＜3e^x．
即g（x）＜3．
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=3，
∴g（x）＜g（0）
∴x＜0．
故选：B

点评 本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属于中档题．