Question

15．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（-2，0），直角顶点B的坐标为（1，$\sqrt{3}$），顶点C在x轴上．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
（2）利用直线与坐标轴相交可得C坐标，利用中点坐标公式可得斜边AC的中点，设直线OB：y=kx，代入B可得k．

解答 解：（1）依题意，直角△ABC的直角顶点为$B（1，\sqrt{3}）$
所以AB⊥BC，故k_AB•k_BC=-1，
又因为A（-3，0），∴k_AB=$\frac{\sqrt{3}-0}{1+2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴k_BC=-$\frac{1}{{k}_{AB}}$=-$\sqrt{3}$．
∴边BC所在的直线方程为：y-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
（2）因为直线BC的方程为$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$，点C在x轴上，
由y=0，得x=2，即C（2，0），
所以，斜边AC的中点为（0，0），
故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点）．
设直线OB：y=kx，代入$B（1，\sqrt{3}）$，得$k=\sqrt{3}$，
所以直角△ABC的斜边中线OB的方程为$y=\sqrt{3}x$．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．