Question

20．已知函数f（x）=|1-2x|，x∈[0，1]，记f₁（x）=f（x），且${f_{n+1}}（x）=f[{f_n}（x）]\;，\;n∈{N^*}$．
（1）若函数y=f（x）-ax（a≠0）有唯一零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．
（2）若函数y=f_n（x）-log₂（x+1）的零点个数为a_n，则满足${a_n}＜{n^2}$的所有n的值为3．

Answer 1

分析 （1）由f（x）-ax=0且x=0不是零点，故a=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{|1-2x|}{x}$，令g（x）=$\frac{|1-2x|}{x}$，作图确定；
（2）函数y=f_n（x）-log₂（x+1）的零点个数a_n即为函数y=f_n（x）与y=log₂（x+1）的交点的个数，分别取n=1，2，3；从而得到a_n=2ⁿ，从而求解．

解答 解：（1）∵f（x）=|1-2x|，x∈[0，1]，
∴f（x）-ax=0，
x=0，f（0）=1，
∴x=0不是零点，
当x≠0时，a=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{|1-2x|}{x}$，令g（x）=$\frac{|1-2x|}{x}$，

∴根据图象可得出：g（x）=$\frac{|1-2x|}{x}$，与y=a有1个交点时，
a∈（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）．
（2）函数y=f_n（x）-log₂（x+1）的零点个数a_n即为函数y=f_n（x）与y=log₂（x+1）的交点的个数，
当n=1时，y=f₁（x）=|1-2x|与y=log₂（x+1）的图象如下，

故a₁=2；
当n=2时，y=f₂（x）=|1-2|1-2x||与y=log₂（x+1）的图象如下，

故a₂=4；
当n=3时，y=f₃（x）=|1-2|1-2|1-2x|||与y=log₂（x+1）的图象如下，

故a₃=8；
故a_n=2ⁿ，
故a_n＜n²，
故n=3；
故答案为：（1）（1，+∞）．（2）3、

点评 本题考查了学生的作图能力及函数的零点与函数的图象的关系，数列与函数的综合应用，属于中档题．