Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，该双曲线的右支上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 根据题意，设出双曲线右焦点的坐标，以及左焦点M的坐标，分析可得|AF|=c，∠AFO=$\frac{π}{3}$，且|MF|=2c，由余弦定理分析计算可得|AM|的值，由双曲线的定义可得2a=|MA|-|AF|=（$\sqrt{3}$-1）c，即可得a的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，
设F的坐标为（c，0），双曲线的左焦点为M，则M（-c，0），
若△OAF是等边三角形，
则|AF|=c，∠AFO=$\frac{π}{3}$，且|MF|=2c，
则由余弦定理：|AM|=$\sqrt{4{c}^{2}+{c}^{2}-2×2c×c×cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{3}$c，
则2a=|MA|-|AF|=（$\sqrt{3}$-1）c，
即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$c，
其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1；
故选：C．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是作出图形，分析a、c的关系．