Question

2．已知关于x的二次函数f（x）=ax²-2bx+1，设点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{7}{16}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 首先画出可行域，求出面积，计算满足函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的a，b满足区域的面积，利用几何概型公式得到所求．

解答 解：点（a，b）对应的平面区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$，
表示一个直角三角形ACF，面积为$\frac{1}{2}$×4×4=8，
f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，且a＞0，则对称轴$\frac{b}{a}$≤1，
此时满足条件的点在如图所示的阴影部分：

阴影部分的面积为四边形BCEG的面积是$\frac{7}{2}$，
故满足条件的概率p=$\frac{\frac{7}{2}}{8}$=$\frac{7}{16}$，
故选：C．

点评 本题考查了简单线性规划问题与几何概型的综合考查；正确画出区域，利用面积比求概率是关键．