Question

10．在曲线y=x²上切线的倾斜角为$\frac{π}{3}$的点是（　　）

• A． （0，0）
• B． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{1}{12}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 由切线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，算出切线的斜率k=$\sqrt{3}$．设切点的坐标为（a，a²），求出函数y=x²的导数为y'=2x，根据导数的几何意义得2a=$\sqrt{3}$，解得a，从而可得切点的坐标．

解答 解：设切点的坐标为（a，a²）
∵切线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，
∴切线的斜率k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
对y=x²求导数，得y'=2x，
∴2a=$\sqrt{3}$，得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得切点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．
故选B．

点评 本题求抛物线y=x²上切线的倾斜角为$\frac{π}{3}$的点的坐标．着重考查了抛物线的性质、切线的几何意义、直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．